Respuesta :
Tenemos la siguiente funcion:
[tex]f(x)=2x^3-3x^2-12x+1[/tex]La primera derivada nos da
[tex]f^{\prime}(x)=2\cdot(3x^2)-3\cdot(2x)-12[/tex]donde hemos usado la regla de derivacion:
[tex]x^n\Rightarrow nx^{n-1}[/tex]Igualando a cero para obtener los puntos criticos tenemos:
[tex]\begin{gathered} f^{\prime}(x)=2\cdot(3x^2)-3\cdot(2x)-12=0 \\ \text{esto es} \\ 6x^2-6x-12=0 \end{gathered}[/tex]Si factorizamos un 6, podemos reescribir lo anterior como
[tex]\begin{gathered} 6(x^2-x-2)=0 \\ lo\text{ cual implica que},\text{ la expresion anterior se reduce a} \\ x^2-x-2=0 \end{gathered}[/tex]Entonces, para obtener x, debemos usar la solucion general de segundo grado:
[tex]\begin{gathered} x=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a} \\ \text{que viene del la ecuacion cuadratica:} \\ ax^2+bx+c=0 \end{gathered}[/tex]Como vemos, en nuestro caso, a=1, b=-1 y c=-2. Sustituyendo estos valores en la formula anterior, tenemos
[tex]x=\frac{-(-1)\pm\sqrt[]{(-1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)}[/tex]lo cual nos da:
[tex]\begin{gathered} x=\frac{1\pm\sqrt[]{1+8}}{2} \\ es\text{ decir} \\ x=\frac{1\pm\sqrt[]{9}}{2} \\ x=\frac{1\pm3}{2} \end{gathered}[/tex]Tenemos entonces dos soluciones, cuando el signo de enmedio es + y cuando es -. Es decir,
[tex]\begin{gathered} x_1=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ y \\ x_2=\frac{1-3}{2}=-\frac{2}{2}=-1 \end{gathered}[/tex]Por tanto, los valores criticos ocurren cuando x=2 y cuando x= -1. Tenemos entonces que,
a) Halle los valores críticos de f(x) usando primera derivada:
Cuando x=2, tenemos en nuestra funcion original que
[tex]f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1[/tex]lo cual da
[tex]\begin{gathered} f(2)=16-12-24+1 \\ f(2)=17-36 \\ f(2)=-19 \end{gathered}[/tex]Ahora, cuando x=-1, tenemos
[tex]\begin{gathered} f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1 \\ f(-1)=-2-3+12+1 \\ f(-1)=13-5 \\ f(-1)=7 \end{gathered}[/tex]es decir, los puntos criticos son (2,-19) y (-1,7).
a2) luego señale el máximo y el mínimo.
El criterio para saber si un punto es maximo o minimo es el siguiente:
[tex]\begin{gathered} Si\text{ f''(x)<0 tenemos un MAXIMO} \\ Si\text{ f''(x) >0 tenemos un MINIMO} \end{gathered}[/tex]La segunda derivada de nuestra funcion es:
[tex]f^{\prime^{\doubleprime}}(x)=2\cdot3\cdot2x-3\cdot2[/tex]la cual da
[tex]f´´(x)=12x-6[/tex]Entonces, en nuestro primer punto critico, cuando x=2, tenemos que
[tex]\begin{gathered} f´´(2)=12(2)-6 \\ f´´(2)=24-6=18 \end{gathered}[/tex]que es mayor a cero. Por tanto, en el punto (2,-19) tenemos un MINIMO.
De forma similar, para el segundo punto critico, sustituyendo x=-1 en nuestra segunda derivada tenemos:
[tex]f´´(-1)=12(-1)-6=-12-6=-18[/tex]que es menor que cero. Por tanto, en el punto (-1, 7) tenemos un MAXIMO
