Question

Luis posee un terreno y va a colocar un cerco de forma rectangular con una malla 80 metros de longitud. Para ello ha establecido dos objetivos:

•Utilizar toda la malla (los 80 metros).
•La superficie que desea cercar debe ser la máxima posible.

Si "x" e "y" representan las dimensiones del terreno.
a) ¿Cuál es la función qué relaciona las dimensiones del terreno?
b) ¿Cuál seria la función qué relaciona el área del terreno con dimensiones?
c) Representa en el plano cartesiano la función relaciona el área del terreno con una de sus dimensiones
d) ¿Cuánto debe medir el ancho y el largo del terreno para que el área sea la máxima posible? Justifica tu respuesta​

Answer 1

Queremos resolver distintas cosas en relación a las dimensiones de un rectangulo, las respuestas son:

a) 80m = 2*(x + y)

b) A = (40m - y)*y = 40m*y - y^2

c) El grafico se puede ver al final de la respuesta.

d) Tanto el largo como el ancho deben ser iguales a 20m

Luis quiere colocar un cerco rectangular, definamos, x como el largo e y como el ancho de este rectangulo.

Recordar que el area está dada por:

A = x*y

y el perimetro está dado por:

P = 2*(x + y)

Ahora sabemos que el desea utilizar una malla de 80 metros de longitud, es decir, el perimetro debe ser:

P = 80m = 2*(x + y)

Ahora tenemos una ecuación que relaciona las dimensions del terreno.

a) 80m = 2*(x + y)

b) La ecuación del area es:

A = x*y

Usando la ecuación del inciso (a) podemos escribir:

80m = 2*(x + y)

40m = x + y

x = 40m - y

Ahora podemos reemplazar esto en la ecuación del area:

A = (40m - y)*y = 40m*y - y^2

c) El grafico se puede ver al final de la respuesta.

d) Queremos maximizar el area.

Notar que la ecuación del area es cuadratica, es decir, el máximo esta en el vertice, y el vertice está dado por:

y = -40m/(2*-1) = 20m

Usando la ecuación x = 40m - y podemos encontrar el valor de x:

x = 40m - y = 40m - 20m = 20m

Es decir, el largo y el ancho deben ser iguales a 20 metros.

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