Question

Differentiate the following Functions
5x^2-2xy + 4y^3= 5

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = \frac{y - 5x}{x + 6y^2}$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

• Terms/Coefficients
• Factoring

Calculus

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation
• Implicit Differentiation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                           $\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)$

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)]$

Basic Power Rule:

1. f(x) = cxⁿ
2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Product Rule]:                                                                             $\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle 5x^2 - 2xy + 4y^3 = 5$

Step 2: Differentiate

1. Implicit Differentiation:                                                                                 $\displaystyle \frac{dy}{dx}[5x^2 - 2xy + 4y^3] = \frac{dy}{dx}[5]$
2. Rewrite [Derivative Property - Addition/Subtraction]:                                 $\displaystyle \frac{dy}{dx}[5x^2] - \frac{dy}{dx}[2xy] + \frac{dy}{dx}[4y^3] = \frac{dy}{dx}[5]$
3. Rewrite [Derivative Property - Multiplied Constant]:                                   $\displaystyle 5\frac{dy}{dx}[x^2] - 2\frac{dy}{dx}[xy] + 4\frac{dy}{dx}[y^3] = \frac{dy}{dx}[5]$
4. Basic Power Rule [Chain Rule]:                                                                     $\displaystyle 10x - 2\frac{dy}{dx}[xy] + 12y^2y' = 0$
5. Product Rule:                                                                                                 $\displaystyle 10x - 2\bigg[ \frac{dy}{dx}[x]y + x\frac{dy}{dx}[y] \bigg] + 12y^2y' = 0$
6. Basic Power Rule [Chain Rule]:                                                                     $\displaystyle 10x - 2\bigg[ y + xy' \bigg] + 12y^2y' = 0$
7. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle 10x - 2y + 2xy' + 12y^2y' = 0$
8. Isolate y' terms:                                                                                             $\displaystyle 2xy' + 12y^2y' = 2y - 10x$
9. Factor:                                                                                                           $\displaystyle y'(2x + 12y^2) = 2y - 10x$
10. Isolate y':                                                                                                       $\displaystyle y' = \frac{2y - 10x}{2x + 12y^2}$
11. Factor:                                                                                                           $\displaystyle y' = \frac{2(y - 5x)}{2(x + 6y^2)}$
12. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{y - 5x}{x + 6y^2}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation

Book: College Calculus 10e