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Answer:

[tex]\displaystyle f'(x) = \frac{-3}{2\sqrt{2 - 3x}}[/tex]

General Formulas and Concepts:

Algebra I

Terms/Coefficients

  • Expanding/Factoring

Functions

  • Function Notation

Calculus

Limits

Limit Rule [Variable Direct Substitution]:                                                             [tex]\displaystyle \lim_{x \to c} x = c[/tex]

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation
  • Definition of a Derivative:                                                                             [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}[/tex]

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle f(x) = \sqrt{2 - 3x}[/tex]

Step 2: Differentiate

  1. Substitute in function [Definition of a Derivative]:                                       [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - 3(x + h)} - \sqrt{2 - 3x}}{h}[/tex]
  2. Expand:                                                                                                         [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - 3x - 3h} - \sqrt{2 - 3x}}{h}[/tex]
  3. Rationalize:                                                                                                     [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - 3x - 3h} - \sqrt{2 - 3x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}{\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}[/tex]
  4. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 - 3x - 3h - (2 - 3x)}{h(\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x})}[/tex]
  5. Expand:                                                                                                         [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 - 3x - 3h - 2 + 3x}{h(\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x})}[/tex]
  6. Combine like terms:                                                                                     [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-3h}{h(\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x})}[/tex]
  7. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}[/tex]
  8. Evaluate limit [Limit Rule - Variable Direct Substitution]:                           [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{-3}{\sqrt{2 - 3(0) - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}[/tex]
  9. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle f'(x) = \frac{-3}{2\sqrt{2 - 3x}}[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation

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