Question

Find the derivative

Answer 1

Answer:

$\displaystyle f'(x) = \frac{-3}{2\sqrt{2 - 3x}}$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

Terms/Coefficients

• Expanding/Factoring

Functions

• Function Notation

Calculus

Limits

Limit Rule [Variable Direct Substitution]:                                                             $\displaystyle \lim_{x \to c} x = c$

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation
• Definition of a Derivative:                                                                             $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle f(x) = \sqrt{2 - 3x}$

Step 2: Differentiate

1. Substitute in function [Definition of a Derivative]:                                       $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - 3(x + h)} - \sqrt{2 - 3x}}{h}$
2. Expand:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - 3x - 3h} - \sqrt{2 - 3x}}{h}$
3. Rationalize:                                                                                                     $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - 3x - 3h} - \sqrt{2 - 3x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}{\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}$
4. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 - 3x - 3h - (2 - 3x)}{h(\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x})}$
5. Expand:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 - 3x - 3h - 2 + 3x}{h(\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x})}$
6. Combine like terms:                                                                                     $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-3h}{h(\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x})}$
7. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{\sqrt{2 - 3x - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}$
8. Evaluate limit [Limit Rule - Variable Direct Substitution]:                           $\displaystyle f'(x) = \frac{-3}{\sqrt{2 - 3(0) - 3h} + \sqrt{2 - 3x}}$
9. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \frac{-3}{2\sqrt{2 - 3x}}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation