Question

find the integral of 1\1+(2x)^2​

Answer 1

Answer:

$\displaystyle \int {\frac{1}{1+(2x)^2}} \, dx = \frac{artan(2x)}{2} + C$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

1. Brackets
2. Parenthesis
3. Exponents
4. Multiplication
5. Division
6. Addition
7. Subtraction

• Left to Right

Equality Properties

• Multiplication Property of Equality
• Division Property of Equality
• Addition Property of Equality
• Subtraction Property of Equality

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Antiderivatives - Integrals

Indefinite Integrals

• Integral Constant C

U-Substitution

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         $\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx$

Arctrig Integration [arctangent]:                                                                           $\displaystyle \int {\frac{1}{a^2 + u^2}} \, du = \frac{1}{a}arctan(\frac{u}{a}) + C$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

$\displaystyle \int {\frac{1}{1+(2x)^2}} \, dx$

Step 2: Integrate Pt. 1

1. [Integral] Rewrite:                                                                                           $\displaystyle \int {\frac{1}{1^2+(2x)^2}} \, dx$

Step 3: Identify Variables

Identify variables for u-substitution of arctrig.

1. Set u:                                                                                                             $\displaystyle u = 2x$
2. Differentiate [Basic Power Rule]:                                                                 $\displaystyle \frac{du}{dx} = 1 \cdot 2x^{1 - 1}$
3. [Derivative] Simplify:                                                                                     $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2$
4. [Derivative] Rewrite:                                                                                     $\displaystyle du = 2dx$
5. Set a:                                                                                                               $\displaystyle a = 1$

Step 4: Integrate Pt. 2

1. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 $\displaystyle \frac{1}{2}\int {\frac{2}{1^2+(2x)^2}} \, dx$
2. [Integral] U-Substitution:                                                                               $\displaystyle \frac{1}{2}\int {\frac{du}{a +u^2}}$
3. [Integral] Arctrig Integration [arctangent]:                                                    $\displaystyle \frac{1}{2}[\frac{1}{a}arctan(\frac{u}{a})] + C$
4. [Integral] Back-Substitute:                                                                             $\displaystyle \frac{1}{2}[\frac{1}{1}arctan(\frac{2x}{1})] + C$
5. [Integral] Divide:                                                                                             $\displaystyle \frac{1}{2}[arctan(2x)] + C$
6. [Integral] Multiply:                                                                                         $\displaystyle \frac{arctan(2x)}{2} + C$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/II)

Unit: Integration of Arctrig

Book: College Calculus 10e