Answer:
x = -√½ or √⁹/₁₀
Step-by-step explanation:
x + √(1 − x²) = √(2(2x² − 1))
Square both sides:
x² + 2x√(1 − x²) + 1 − x² = 2(2x² − 1)
2x√(1 − x²) + 1 = 4x² − 2
2x√(1 − x²) = 4x² − 3
Square both sides again:
4x² (1 − x²) = 16x⁴ − 24x² + 9
4x² − 4x⁴ = 16x⁴ − 24x² + 9
0 = 20x⁴ − 28x² + 9
Solve with quadratic formula:
x² = [ 28 ± √(28² − 4(20)(9)) ] / 2(20)
x² = (28 ± 8) / 40
x² = ½, ⁹/₁₀
x = ±√½, ±√⁹/₁₀
Check for extraneous solutions.
If x = -√½:
-√½ + √(1 − ½) = √(2(2(½) − 1))
-√½ + √½ = √(2(1 − 1))
0 = 0
If x = √½:
√½ + √(1 − ½) = √(2(2(½) − 1))
√½ + √½ = √(2(1 − 1))
√2 = 0
If x = -√⁹/₁₀:
-√⁹/₁₀ + √(1 − ⁹/₁₀) = √(2(2(⁹/₁₀) − 1))
-√⁹/₁₀ + √¹/₁₀ = √(2(⁹/₅ − 1))
-√⅖ = √⁸/₅
If x = √⁹/₁₀:
√⁹/₁₀ + √(1 − ⁹/₁₀) = √(2(2(⁹/₁₀) − 1))
√⁹/₁₀ + √¹/₁₀ = √(2(⁹/₅ − 1))
√⁸/₅ = √⁸/₅
