Question

Se presentaron entre 50 y 80 participantes del Nivel 1. Para trabajar durante el certamen se pudieron agrupar en forma exacta si lo hacían de a cuatro; pero si lo hacían de a cinco, faltaba una persona. ¿Cuántos participantes del Nivel 1 se postularon?

Answer 1

Answer:

64 participantes del Nivel 1 se postularon al certamen.

Step-by-step explanation:

Sabemos que asistió una cantidad $x$ que es un número natural entre 50 y 80, también conocemos que:

1) Para trabajar durante el certamen se pudieron agrupar en forma exacta si lo lo hacían de a cuatro:

$4\cdot n = x$ (Ec. 1)

Donde $n$ es el número de grupos de a cuatro, adimensional.

2) Pero si lo hacían de a cinco, faltaba una persona:

$5\cdot r -1 = x$ (Ec. 2)

Donde $r$ es el número de grupos de a cinco, adimensional.

Si analizamos (Ec. 1), entonces podemos deducir que $x$ debe ser un número natural par para ser divisible por 4, a su vez, divisible por 2, un número primo.

Por otra parte, $x$ debe lleva a que $r$ sea un número natural por (Ec. 2).

Ahora, buscamos los posibles valores de $x$ divisibles por 4:

$A=\{52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80\}$

Ahora utilizamos para revisar cual valor del conjunto A lleva a un valor $r$ que sea un número natural. Es decir:

$r = \frac{x+1}{5}$

Como podemos ver, el numerador debe terminar en 0 o 5 para ser divisible por 5, así, es evident que el elemento requerido del conjunto A es 64:

$r = \frac{64+1}{5}$

$r = 13$

En síntesis, 64 participantes del Nivel 1 se postularon al certamen.