Se presentaron entre 50 y 80 participantes del Nivel 1. Para trabajar durante el certamen se pudieron agrupar en forma exacta si lo hacían de a cuatro; pero si lo hacían de a cinco, faltaba una persona. ¿Cuántos participantes del Nivel 1 se postularon?

Respuesta :

Answer:

64 participantes del Nivel 1 se postularon al certamen.

Step-by-step explanation:

Sabemos que asistió una cantidad [tex]x[/tex] que es un número natural entre 50 y 80, también conocemos que:

1) Para trabajar durante el certamen se pudieron agrupar en forma exacta si lo lo hacían de a cuatro:

[tex]4\cdot n = x[/tex] (Ec. 1)

Donde [tex]n[/tex] es el número de grupos de a cuatro, adimensional.

2) Pero si lo hacían de a cinco, faltaba una persona:

[tex]5\cdot r -1 = x[/tex] (Ec. 2)

Donde [tex]r[/tex] es el número de grupos de a cinco, adimensional.

Si analizamos (Ec. 1), entonces podemos deducir que [tex]x[/tex] debe ser un número natural par para ser divisible por 4, a su vez, divisible por 2, un número primo.

Por otra parte, [tex]x[/tex] debe lleva a que [tex]r[/tex] sea un número natural por (Ec. 2).

Ahora, buscamos los posibles valores de [tex]x[/tex] divisibles por 4:

[tex]A=\{52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80\}[/tex]

Ahora utilizamos para revisar cual valor del conjunto A lleva a un valor [tex]r[/tex] que sea un número natural. Es decir:

[tex]r = \frac{x+1}{5}[/tex]

Como podemos ver, el numerador debe terminar en 0 o 5 para ser divisible por 5, así, es evident que el elemento requerido del conjunto A es 64:

[tex]r = \frac{64+1}{5}[/tex]

[tex]r = 13[/tex]

En síntesis, 64 participantes del Nivel 1 se postularon al certamen.

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