Question

In triangle ABC points M and N lie on sides AB and BC, respectively such that MN∥ AC . Segments AN and CM intersect at point K and AK = KC. Prove that △ABC is isosceles.

Answer 1

Answer:

                 Statements                                                   Reasons

1. $MN \parallel AC$                                                    1. Given

2. $AK = KC$                                                  2. Given

3. $m \angle NAC = m\angle MCA$                                 3. Base angles theorem.

4.  $m \angle NAC = m\angle MNA$                               4. Alternate interior angles.

5. $m \angle MCA = m \angle NMC$                               5. Alternate interior angles.

6. $MK = NK$                                                6. Isosceles triangle theorem.

7. $m \angle MKA = m \angle NKC$                               7. Vertical angles.

8.  $\triangle MKA \cong \triangle NKC$                                   8. By SAS postulate.

9. $m \angle MAK = m \angle NCK$                               9. By CPCTC.

10.                                                                  10. Sum of adjacent angles.

$m\angle MAK + m \angle NAC = m \angle NCK + m \angle MCA\\m \angle A = m \angle C$

11. $\triangle ABC$ is isosceles                                  11. Base angles theorem.